Validación de solución analítica para desempeño de Aletas, 

mediante solución matemática y numérica

José Miguel Bravo Díaz

 

Universidad de Santiago de Chile, Facultad de Ingeniería.

Departamento de Ingeniería Mecánica. Programa de: Pregrado.

Santiago, Chile

 Junio 2012

Resumen

    A continuación, se presentará el estudio de desempeño de superficies expandidas (Aletas). El objetivo específico es comparar para una aleta recta de sección transversal uniforme, soluciones analíticas, matemáticas y numéricas de distribución de temperatura, a lo largo de una aleta para un caso unidimensional.

Palabras clave: Aleta, superficie extendida, exceso de temperatura, distribución de temperatura y calor, solución analítica, matemática y numérica.

1. Introducción

   La frase superficie extendida se usa normalmente con referencia a un sólido que experimenta transferencia de energía por conducción dentro de sus límites, así como transferencia de energía por convección (y/o radiación) entre sus límites y los alrededores.

Considerando una pared plana sometida a enfriamiento por convección, donde la temperatura del sólido es fija, existen dos formas en las que es posible aumentar la transferencia de calor. El coeficiente de convección h podría aumentarse incrementando la velocidad del fluido, y/o podría reducirse la temperatura del fluido. Sin embargo, en muchas situaciones, al aumentar h al valor máximo posible, es insuficiente para obtener la transferencia de calor que se desea o en la que los costos asociados son prohibitivos. Estos costos están relacionados a requerimientos de potencia de un ventilador o bomba. La segunda opción, de reducir la temperatura del fluido, a menudo es poco práctica.  Sin embargo, existe una tercera opción, donde la transferencia de calor se incrementa aumentando el área de la superficie a través de la cual ocurre la convección. Esto se logra con el empleo de aletas que se extienden desde la pared del sólido al fluido circundante.

   La conductividad térmica del material de la aleta, tiene fuerte efecto sobre la distribución de temperaturas a lo largo de ésta y, por lo tanto, influye en el grado al que la transferencia de calor aumenta. Idealmente, el material de la aleta debe tener una conductividad térmica grande, para minimizar variaciones de temperatura desde la base hasta la punta. En el límite de la conductividad térmica infinita, toda la aleta estaría a la temperatura de la base de la superficie, proporcionando con ello el máximo aumento posible de transferencia de calor.  

1.1.    Suposiciones

Para realizar el estudio se hacen las siguientes suposiciones:

Ø  Condición de conducción 1D, dirección longitudinal X. Aunque sabemos que la conducción es bidimensional, en la práctica la aleta es delgada y los cambios de temperatura en la dirección longitudinal son mucho más grandes que los de la dirección transversal. Condición de estado estable.

Ø  Conductividad térmica constante.

Ø  Radiación desde la superficie despreciable.

Ø  Efectos de generación de calor ausentes.

Ø  Coeficiente de transferencia de calor por convección h, es uniforme sobre la superficie y temperatura del flujo constante.

2. Problema

   Tanto para el estudio y análisis de la distribución de temperatura a lo largo de la aleta de la Figura 1, como el flujo de calor en ésta, tenemos 4 alternativas de condiciones de contorno en el extremo libre de la aleta. Estas son: transferencia de calor por convección, pérdida de calor convectiva en el extremo insignificante (adiabática), temperatura prescrita en el extremo y Aleta infinita.

   Seleccionaremos el estudio de una aleta donde existe una temperatura prescrita en el extremo libre y con ello se determinarán las condiciones de contorno consistentes con el caso.

  Figura 1. Aleta sección transversal uniforme

2.1 Planteamiento del problema:

2.1.1 Ecuación gobernante:

Pero, para una aleta rectangular de sección uniforme:

Luego:

   Definiendo el exceso de temperatura y el parámetro m, respectivamente:

   La ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes a resolver será:

Solución general:

Condiciones de contorno:

3. Solución analítica:

Resolviendo para C1 y C2 y evaluando en θ(x):

  

   Volviendo a la variable T(x), la distribución de temperatura será:

 4. Solución matemática:

   Se entrega la solución matemática, donde se establece la ecuación diferencial de segundo orden que gobierna el fenómeno, con las condiciones de borde ya conocidas.

   Volviendo a la variable T(x), la distribución de temperatura es:

5. Solución numérica:

   Se modela el problema establecido anteriormente, entregando la solución numérica obtenida mediante el software Comsol 4.1.

    Para obtener una solución numérica, se modela la aleta con una malla extrafina, de 6812 elementos tetraédricos, con el fin de minimizar el error en la aproximación.

    Las condiciones de contorno, son consistentes con las señaladas en el planteamiento del problema.

    La distribución de temperatura es:

   Gráficamente:

6. Validación

   Finalmente, para la distribución de temperatura a lo largo de nuestra aleta en estudio, podemos comparar gráficamente las 3 soluciones obtenidas anteriormente (Analítica, Matemática y Numérica):

  

7. Conclusiones

   Dado que la ecuación diferencial que gobierna el fenómeno de conducción unidimensional posee  solución analítica (solución exacta), al comparar la distribución de temperatura a lo largo de una aleta recta de sección transversal uniforme gráficamente,  con las soluciones matemática y numérica, se logra observar claramente al superponer las 3 curvas, que las soluciones aproximadas calculadas por un computador que utiliza métodos numéricos, siguen exactamente la misma tendencia de la solución analítica.

   Esto se debe a que el problema es relativamente sencillo, dado que la ecuación que gobierna el fenómeno físico es una ecuación diferencial homogénea y los resultados numéricos obtenidos convergen rápidamente.

8. Comentarios y observaciones

   Para el análisis propuesto en éste trabajo se utilizaron 3 softwares:

Análisis analítico – Mathcad 14

Análisis numérico -  Comsol 4.1

Modelos geométricos – Solidworks 2010

9. Bibliografía

-          Fundamentos de Transferencia de Calor, Frank Incropera (Cuarta Edición).