¿Tiene
real importancia la pregunta acerca de los fundamentos de la matemática?
Por
Juan A. González G.
Estudiante
de Ingeniería Matemática.
A partir de la segunda
mitad del siglo XIX, surgieron varios resultados provenientes del análisis
matemático que contradecían a la intuición geométrica, estos resultados
motivaron a los matemáticos de ese entonces a reflexionar si la ciencia que
estudiaban poseía fundamentos lo suficientemente sólidos como para confiar en
lo que de ella se deducía. La
experiencia práctica acerca de los resultados matemáticos aplicados a otras
áreas del quehacer humano respalda la certeza de esta ciencia, y hace dudar si
en realidad es tan importante el preguntarse acerca la corrección de la
matemática o, si por el contrario, esto
es un mero juego de abstracciones y
disquisiciones filosóficas que en nada afectan al desarrollo de la ciencia
aplicada. Por otra parte, un desarrollo
vertiginoso de la matemática a partir de estas preguntas durante el siglo XX
provoca una revolución no sólo en la filosofía y en la matemática misma, si no
en disciplinas totalmente aplicadas al desarrollo de la tecnología, como lo son
la electrónica digital y la informática; esto lleva a cuestionarnos si la
investigación fecunda de esta área del conocimiento es o no provechosa para
fines prácticos, a pesar de parecer una
lucha, no diría perdida, si no, una que
quizás no valga la pena pelear.
Corría el siglo XIX y
eminentes matemáticos creían en la conjetura de que una función continua (intuitivamente,
una función cuyo gráfico puede ser dibujado de un solo trazo, sin levantar el
lápiz del papel. Ver figuras 1 y 2) debía ser diferenciable (intuitivamente,
una función cuyo gráfico es lo suficientemente “suave” como para trazar una
recta tangente a éste de manera única. Ver figuras 3 y 4) excepto quizás en
aislados puntos de su dominio.
Figuras 1 y 2: Función continua y función discontinua
en x=x1
Figuras 3 y 4: Función continua diferenciable en x=a, y función continua no diferenciable
en x=0.
Hacia 1872 Karl
Weierstrass inventa un ejemplo de función continua no diferenciable en ningún
punto, tirando por la borda el “sentido común” dictado por la intuición
geométrica. Unos años después, en 1890
Giuseppe Peano logra inventar una curva que llena un cuadrado, es decir, una
función continua que “tuerce” un intervalo o trazo (objeto de una sola
dimensión) de manera tan intrincada, que logra pasar por todos los puntos de un
cuadrado (objeto de dos dimensiones), otro golpe a la intuición geométrica.
Estos dos ejemplos no son
los únicos: en 1874 Georg Cantor, demuestra que el conjunto de los números
naturales tiene la misma cantidad de elementos que conjunto de todos los
números algebraicos, aquellos que son raíz de un polinomio con coeficientes
enteros (Notar que todos los números racionales y todas las raíces cuadradas,
cúbicas, etc. son ejemplos de números algebraicos), el mismo año Cantor
demuestra que cualquier intervalo de números reales es más numeroso que el conjunto
de los números naturales, y va más allá: en 1878 Cantor logra demostrar que el
conjunto de puntos contenidos en cualquier segmento de recta es equinumeroso
con el conjunto de puntos contenido en cualquier cuadrado, cubo, o en general,
en cualquier hipercubo de n
dimensiones con n cualquier número
natural. Esto contribuyó a agravar la llamada crisis de la intuición matemática en el último tercio del siglo XIX. Por una parte, los hallazgos de Cantor
muestran que hay dos clases de infinito: el infinito numerable de los números
naturales (y de los enteros, racionales y algebraicos) y el infinito mayor de
los números reales (o de cualquier segmento de recta) también llamado el continuo. Por otra parte, la cantidad de dimensiones
del continuo, sean 1, 2, 3, etc. no afecta al número de elementos de éste
(todas tienen el mismo número de elementos que los reales). Más aún, con su investigación sobre los
números ordinales y cardinales, Cantor lleva el concepto de
infinito al nivel de una cantidad numérica definida, con la cual se pueden
realizar operaciones aritméticas, lo que va totalmente en contra de la acepción
de infinito que se usaba hasta ese entonces en matemática: el infinito era un
potencial inalcanzable (“lo infinitamente grande o infinitamente pequeño”),
nunca una cantidad bien definida, y de hecho, Cantor va aún más allá, y a
partir de su teorema que enuncia que el conjunto potencia de un conjunto dado
tiene estrictamente más elementos que éste, muestra que hay una cantidad
infinita de infinitos cada cual mayor que el anterior.
Para lograr estas proezas
Cantor se vale de una incipiente rama de la matemática para ese entonces que
hoy llamamos teoría de conjuntos,
ésta parecía ser la respuesta a la crisis de la intuición, con la cual se
lograría fundamentar toda la matemática (incluyendo la geometría) a través de
las propiedades de los números mismos,
renunciando así a la fallida intuición geométrica.
Esto en realidad no sería
tan sencillo: antes del 1900, ya se habían hecho intentos por formalizar la
aritmética a través de la lógica
(disciplina filosófica fundada por Aristóteles, y llevada a la matemática por
George Boole en trabajos de 1847 y 1854), armados de la nueva teoría de conjuntos. Primero Gottlob
Frege (1884), quien con su trabajo dio
origen a lo que hoy conocemos como lógica
matemática, luego Richard Dedekind en 1888 (creador del primer modelo de
los números reales como conjuntos de racionales, las así llamadas “cortaduras
de Dedekind”), y también Giuseppe Peano (1889) realizan sendos intentos de
axiomatizar la aritmética a través de la lógica, usando como herramienta la
reciente y controvertida teoría de conjuntos que ya comenzaba a tener entre sus
detractores a grandes matemáticos de la época, primero Kronecker y Poincaré
hacen notar sus objeciones respecto a esta nueva
matemática, luego les seguirían Brower y Weyl, y ya entrado el siglo XX influyentes
filósofos tales como Wittgenstein y Lorenzen también harían sus reparos en
cuanto a este intento de fundamentar la matemática[1]. Para agravar más la situación del conjuntismo, uno de sus defensores, el
filósofo Bertrand Russell, en 1901 encuentra una grieta en la formidable
construcción de Frege, que se apoyaba en el concepto de conjunto introducido
por Cantor, de hecho, Russell deja en evidencia que el concepto de conjunto
lleva a situaciones contradictorias o paradójicas si se acepta así sin
más. Para Cantor (y todos quienes en
aquella época usaban el concepto de conjunto en matemática), conjunto era la
colección de elementos que cumplían una cierta propiedad, por ejemplo el
conjunto de los números pares o el de las butacas de un teatro, es decir un
conjunto era la extensión de un
concepto o idea. Russell, por su parte,
crea el conjunto 
, el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos.
La pregunta que se hizo Russell es 
, no es difícil darse cuenta que al tratar de
responder esta pregunta llagamos a la así llamada paradoja de Russell: 
si, y sólo si 
(si 
pertenece a sí mismo debe cumplir con la
propiedad de no pertenecer a sí mismo y vice-versa).
, el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos.
La pregunta que se hizo Russell es , no es difícil darse cuenta que al tratar de
responder esta pregunta llagamos a la así llamada paradoja de Russell: si, y sólo si (si pertenece a sí mismo debe cumplir con la
propiedad de no pertenecer a sí mismo y vice-versa).
Llegado a este punto,
parecía ser que los detractores del conjuntismo habían ganado la batalla y,
peor aún, no había solución a la crisis de la intuición, el mismo Russell junto
al matemático Alfred Whitehead se embarcan en la titánica tarea de fundamentar
la matemática (esta vez sin contradicciones) creando la teoría de los tipos lógicos en su monumental obra Principia Mathematica, compendio de tres
libros publicados entre 1910 y 1913. Otro intento por deshacerse de las paradojas (sin tanto aparataje como
los principia) es la teoría axiomática de
conjuntos de Ernst Zermelo. Pero todavía quedaba la cuestión de si estas
teorías eran consistentes o podían llevar a contradicciones tales como la
paradoja de Russell.
Hacia 1920 David
Hilbert se embarca en un nuevo programa de fundamentación de las matemáticas
que asegurara la consistencia de los axiomas de la aritmética. Este fin era de vital importancia para todo
el edificio matemático ya que la consistencia de otras teorías matemáticas
descansarían en la no posibilidad de contradicción de la aritmética, me
explico: Lobachevsky, por ejemplo, había probado que su geometría no euclidiana
no podía llevar a contradicciones a menos que la geometría euclidiana lo
hiciera. El mismo Hilbert había probado (1899) que su axiomatización de la
geometría euclidiana no era inconsistente a menos que la teoría de los números
reales lo fuera; dado que la representación de los reales se basaba en
conjuntos de racionales, y éstos a su vez en conjuntos de enteros, que a su vez
se representaban por conjuntos de naturales, las pruebas de consistencia de la
matemática se basarían en la prueba de consistencia de la aritmética.
Al parecer Hilbert
subestimó la tarea, ya que, las investigaciones de Kurt Gödel (1930) mostrarían
que no es posible demostrar la consistencia de la aritmética (a partir de la
axiomatización de la aritmética misma). A pesar de que el programa de Hilbert
parecía destinado al fracaso, en 1935 y 1938 Gerhard Gentzen publica sus pruebas
de consistencia de la aritmética, pero para esto hubo que cambiar la “reglas
del juego” y aceptar técnicas que hasta ese momento estaban prohibidas; en
resumidas cuentas, Gentzen tuvo que salirse de la aritmética misma para poder
probar su consistencia a través de una teoría mucho mayor usando métodos transfinitos que habían sido evitados
hasta el momento por “salirse de la intuición de la experiencia física humana”.
Llegado a este punto es
lícito el preguntarse ¿por qué gastar tantos esfuerzos en demostrar que la
matemática es consistente si esta funciona? o también ¿qué gana la ciencia y el
desarrollo de la tecnología con esta búsqueda? ¿No sería mejor usar todos estos
esfuerzos en algo que tenga una aplicación práctica?
Es indudable que todos
estos esfuerzos hechos por grandes matemáticos casi se salen de la matemática
misma para entrar en la rama de la filosofía conocida como lógica, en efecto, mucha de la matemática creada para tales fines
se podría llamar metamatemática. No obstante, los progresos realizados por
estos científicos llevaron el pensamiento matemático más allá de lo que nadie
había logrado hasta entonces, también se desarrollaron nuevas ramas de la
matemática como la lógica matemática y la teoría de conjuntos, y de la metamatemática como la teoría de la prueba. Además de lo anteriormente mencionado, los
progresos debidos a este esfuerzo combinado de tantos científicos llevaron a
adelantos tecnológicos como la electrónica digital (compuertas lógicas), y al
desarrollo de la informática (máquinas de Touring), asimismo, el posterior
desarrollo de la lógica llevó a adelantos en ciencias
de la computación (manejo de bases de datos inconsistentes), y también a
tecnologías tan cotidianas como la lógica
difusa usada en las lavadoras automáticas de muchos hogares.
Creo que el esfuerzo
por fundamentar la matemática, desde Dedekind, Cantor, Frege y Peano, pasando
por Russell y Whitehead, Zermelo, Hilbert, Gödel y por tantos otros como Von
Neumann, Touring, Tarski, Cohen y muchos más, nos muestra que el investigar
ciertas áreas del conocimiento consideradas como no aplicadas, en realidad es de suma importancia, y en último
término, casi con seguridad nos llevará a nuevas aplicaciones prácticas,
insospechadas al momento de emprender esta tarea, a pesar de la desconfianza de
los más pragmáticos.
Bibliografía.
- Torretti, R. (1998). El paraíso de Cantor. 1ª edición. Santiago. Universitaria.
- Wikipedia, la enciclopedia libre. Wikimedia foundation, Inc. Recuperado 27 de julio 2016.
- Moreno, L. Weierstrass: Cien años después. Miscelánea matemática 25,1997 recuperado de
[1] Para explicar a grandes rasgos las
objeciones de estos matemáticos y filósofos diré que ellos adoptan una posición
que podríamos llamar constructivista,
es decir, para aceptar que un objeto existe, hay que exhibirlo, o por lo menos
dar un método para construirlo, en oposición a quienes aceptan que un objeto
existe sólo por el hecho que se ha demostrado que no puede no existir.
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